Regina Reinup, Tallinna Ülikool, Tallinna Soome Kool, 2010
Protsentõpetust on nii meil kui ka mujal maailmas peetud läbi aegade üheks raskemaks teemaks koolimatemaatikas (Parker & Leinhardt, 1995; Moss, 2005). Lisaks sellele on TIMSS 2003 kokkuvõtetest teada fakt, et Eesti õpilastele, kes olid matemaatikas rahvusvaheliselt tublil 8. kohal, valmistasid raskusi just protsentülesanded. Neid lahendati oma tasemerühma eakaaslastest halvemini (Lepmann, 2005). Käesoleva artikli eesmärgiks on analüüsida mõningaid kitsaskohti protsentarvutuse teemaga seoses ning jagada soovitusi selle huvitavamaks ja mõtestatud õpetamiseks põhikoolis.
Võrd(l)use alus
Algklassidest alates on õpilased harjunud suurusi omavahel võrdlema absoluutses mõttes. Osatakse arvutada, kui palju on üks suurus teisest suurem või väiksem. Matemaatiliselt on siin tüüpiliselt tegemist lahutustehtega, kus suuremast suurusest lahutatakse väiksem. Seejuures ei ole kindlaks määratud, kas lahutatakse võrdluse alusest võrreldav või vastupidi.
Olgu tegemist kahe puuga: kuusk kõrgusega 10 m ja kask 12 m. Küsimuse nende puude võrdlemiseks võib esitada kahel viisil:
1. Kui palju on kuusk kasest madalam? Lahendus: 12 – 10 = 2 (m); võrdluse aluseks on kask.
2. Kui palju on kask kuusest kõrgem? Lahendus: 12 – 10 = 2 (m), võrdluse aluseks on kuusk.
Selliste tüüpülesannete lahendamine ei õpeta õpilasi mõtlema, kumb kahest suurusest on võrdluse alus, kuna õige vastuse annab igal juhul sama tehe. Oskust määratleda antud kontekstis, kumb kahest suurusest on võrdluse alus, läheb aga kindlasti vaja suhtelise võrdlemise juures, sest nüüd pole enam ükskõik, kumba pidi suhe moodustatakse. Erinevalt absoluutsest võrdlemisest, kus suuremast suurusest lahutatakse väiksem, tuleb suhtelise võrdlemise puhul tavaliselt jagada väiksem suurus suuremaga ja igal juhul võrreldav võrdluse alusega, mis muutub siin võrde aluseks.
Õpilaste matemaatika-alaste tulemuste poolest maailmas esirinnas olevas Singapuris soovitatakse ülesannete analüüsimisel esialgu välja tuua mõlemad – nii vahe kui ka suhe – esitades iga ülesande juures alati ka joonise (Hong, Mei & Li, 2009). Kindlasti aitaks ka meie õpilaste tulemusi parandada, kui õpitaks ülesannete puhul analüüsima, mis on konkreetse ülesande puhul tervik, mis (absoluutne) osa, kui suur on suuruste absoluutne erinevus (vahe) ja kui suur suhteline erinevus (suhe), tuues eraldi välja, mis on võrd(l)use aluseks. Joonis esitab ülesannet tihti palju paremini kui mistahes sõnalised selgitused. Korrektse joonise esitamist ülesande ühe võimaliku lahenduskäiguna peaks ka meil laiemalt propageerima ja aktsepteerima. Protsentõppe algetapis on eriti oluline, et õpilane saaks aru, mida ja miks ta arvutab.
Keelelised probleemid
Sõnal osa on eesti keeles kaks matemaatilist tähendust: absoluutne ja suhteline. Keeleinimestele see probleeme ei tekita. „Eesti kirjakeele seletussõnaraamat” (EKSS, 1988) annab sõnale osa kokku kaheksa seletust, paigutades need matemaatikute jaoks täiesti erinevad tähendused kokku:
Osa (1d) kindla suurusega jagu tervikust v terviku moodustamiseks. Pärandus jagati kolme võrdsesse ossa, kolmeks võrdseks osaks. (- – -) Maksin ühiskingi jaoks oma osa – 5 krooni – ära.
Kindlasti tuleb õpilaste tähelepanu pöörata sellele keelelisele iseärasusele ja tuua näiteid igapäevakeelest – küsimuse “Mitu poissi on klassis?“ esitamisel oodatakse vastuseks poiste arvu ehk absoluutset osa (eeldame siinjuures, et tegemist ei ole nn poisteklassiga); küsimuse „Kui suur on poiste osa klassis?“ esitamisel aga suhtelist osa.
Põhimõisted protsentõppe algetapis
Protsentõppe algetapis oleks mõistlik kasutada vähem matemaatilisi mõisteid. Suure hulga mõistete omandamise asemel on palju olulisem väiksema hulga mõistete sisuline mõistmine. Esialgu võiks kasutada ainult kolme mõistet: tervik, absoluutne osa ehk osa ja suhteline osa ehk osakaal . Neist kaks esimest esindavad absoluutseid suurusi ja omavad samu (või samadeks teisendatavaid) ühikuid, osakaal on aga suhtarv, millel ühik puudub. Osakaalu erinevad esituskujud peaksid selgeks saama kohe protsentõppe teema alguses. Traditsiooniliselt treenitakse meil teisendusoskusi protsent – kümnendmurd – harilik murd. Tuleb aga meeles pidada, et osakaalu saab väljendada veel ka geomeetriliselt ja sõnalisel kujul (vt joonis 1). Geomeetriline esitus toetab visuaalse õpistiiliga laste õppimist. Siinjuures tuleks tavapäraste ristküliku ja ringi kõrval kasutada võimaluse korral ka muid kujundeid, näiteks rombi ja teatud juhtudel võrdkülgset kolmnurka.
Õpetajatel tuleb kontrollida oma keelekasutust, kasutades teadlikult suhtelise osa väljendamisel sõna osakaal ja/või osakaal protsentides. Tunnivaatluste põhjal võib väita, et protsentülesannete lahtiseletamisel kasutavad õpetajad tihti suhtelise osa väljendamisel vahelduvalt mõisteid protsent, osa ja osamäär/protsendimäär. Nüüd lisandub 7. klassis veel mõiste protsendipunkt (Telgmaa, 2010). Mõistete paljusus õppimise algetapis tekitab segadust. Uurimused on näidanud, et teema sisust aru saamata püüavad õpilased protsentülesandeid lahendada memoreeritud reegleid-algoritme kasutades (Parker & Leinhardt, 1995; Reinup, 2009), oskamata seejuures hinnata, kas lahendus on loogiline ja vastus reaalne või ei.
Protsendi mõiste käsitlemine kuuendas klassis
Kuuendas klassis on protsentõppega seotud teemasid ainult kaks: 1) protsent ja 2) osa leidmine tervikust. Siia peaks tegelikut lisanduma ka teisenduste harilik murd – kümnendmurd – protsent selgeks õppimine.
Väga suur tähtsus on teema sissejuhatusel, mis peaks äratama õpilastes huvi ja tekitama positiivse hoiaku edaspidiseks. Kindlasti tuleks rääkida sõna protsent juurtest. Ladinakeelne per centum (saja kohta) on olnud aluseks protsendile erinevates keeltes:
- percentuale (itaalia);
- percent, percentage (inglise);
- pourcentage (prantsuse) ja
- porcentaje (hispaania).
Eesti lapsele võiks tutvustada ka alternatiivset vormi pro centum (saja eest), millest on tulnud meie protsent, aga ka:
- Prozent, Prozentsatz (saksa),
- prosentti (soome),
- процент (vene),
- procentais (leedu) ja
- procentu (läti).
Internetist võib leida huvitavat lisamaterjali protsentidest seoses maksunduse ajalooga ja protsendimärgi väljakujunemisega.
Juhul, kui lisamaterjali tutvustab õpetaja, võiks ta võtta jutustaja rolli, kasutades häält mittetraditsiooniliselt. Selliselt esitatud lugu on emotsionaalselt mõjusam ja tekitab tugevaid seoseid (Zazkis & Liljedahl, 2009; lk. 4). Loomulikult võib lasta teha ettekandeid ka õpilastel.
Protsendi mõiste õpetamise juures ei maksa peljata, et näiteks tõenäosust õpitakse koolis tunduvalt hiljem. Tegelikult on arvatavasti kõik kuuenda klassi lapsed kuulnud väljendit „100% kindel“ ja nad saavad väga hästi aru, et 0% tähendab sel juhul „kindlasti mitte“. Hinnangulise protsendi leidmine kinnistab mõistet ja annab alust arutlusteks. Näiteks võib igaüks hinnata, kuidas ta kooli tuleb – rongiga, bussiga, rattaga, jalgsi või tuuakse teda autoga. Elevuse tekitamiseks võib nimekirja lisada ka kosmoselaeva, lennuki, helikopteri ja laeva. Siin ei ole ilmselt üheselt õigeid vastuseid, ka ühe õpilase puhul võivad kõne alla tulla erinevad võimalused.
Sellised elulised küsimused tekitavad usaldust protsendi teema vastu; eriti seetõttu, et esialgu pole ju midagi vaja arvutada. Analoogiliselt võib esitada küsimusi homse ilma kohta, lemmikartistiga kokkusaamise tõenäosuse kohta jne.
Tulles lähemale protsendi sisulisele tähendusele – suhtelisusele – on siin teema illustreerimiseks mitmeid võimalusi: nii Internetipõhiseid kui ka nn põlve otsas tehtud õppevahendeid; näiteks kummipaelast isetehtud „veniv mõõdulint“, millega saab 10% täpsusega mõõta osakaalu protsentides. Tavaline kummipael venib päris hästi, meetrise „veniva mõõdulindiga“ saab võrrelda pikkusi 1m – 2m. Õpilastel võib lasta täita klaase (erinevat värvi) vedelikuga vastavalt 100%, 75%, 50%, 25% ja 10% või lasta võrdlevalt hinnata, kui palju on näiteks 40% 1m, 1,5m ja 2m pikkusest torust (Moss, 2005).
Selles etapis tuleb kindlasti selgeks saada teisendused osakaalu erinevate väljendusviiside vahel, eriti teisendused harilikust murrust protsendiks ja vastupidi, kuna sel juhul ei toimu tegelikult otsest teisendust vaid nn topeltteisendus. Protsendi teisendamisel harilikuks murruks tuleb saadud murd taandada:
15% on 15⁄100, on 3⁄20 suurune osa;
hariliku murru protsendiks muutmisel aga murdu kas laiendada või teostada esmalt jagamistehe ja siis saadud kümnendmurd protsendiks teisendada:
3⁄20 on 15⁄100, on 15% suurune osa või 3⁄20 on 3:20, on 0,15, on 15% suurune osa
Singapuri matemaatikaõpetuses kasutatav nn model-meetod toetab teisendusi visuaalselt (vt joonis 2). Ka tekstülesannete lahendamisel kasutatakse alati joonise abi.
Taskuarvuti kasutamine küll kiirendab teisendusi, kuid aeg-ajalt tuleb õpilastel treenida ka kirjalikku arvutamist. Teisenduste visualiseerimiseks sobib hästi mäng Mission: Magnetite (vt joonis 3). Selle kasutamisel tuleb aga veenduda, et ka klassi tagumistest pinkidest oleks tahvlile/ekraanile näha, või mängida seda mõnes arvutiklassi-tunnis.
Joonis 3. Mäng Mission: Magnetite. http://pbskids.org/cyberchase/games/percent/percent.html
Osa leidmist tervikust on otstarbekas alustada jällegi protsendi sisust lähtuvalt ehk 1% kaudu. Eluliseks näiteks siin on pitsapõhi, millele servale on märgitud 100 punktikest. Õpilaste ülesandeks on joonistada põhjale oma lemmikpitsa; mõelda sellele hind ja kaal (vt joonis 4). Kasutades 100 punktivahet sajandikosadena pitsast, võib seejärel paluda eraldada kõigepealt 1% vastav sektor ja seejärel nii suur sektor, kui tahetakse ära süüa (siinjuures ei tohiks lasta valida liiga lihtsaid osasid, näiteks 100% või 50%). Mõlemal puhul leitakse nii sektori hind kui kaal. Kui näiteks 23% vastava osa hinna arvutamine valmistab esialgu raskusi, siis võib kõigepealt proovida arvutada 2% ja 3%, seejärel 5% ja 10% vastav osa ning siis kombineerida: 23%-le vastav osa saadakse, kui võetakse kaks korda 10%-le vastav osa ja lisatakse sellele 3%-le vastav osa.
Taskuarvutil on osa suurust loomulikult lihtne leida, korrutades terviku vastava kümnendmurruga. Siin tuleb õpilastele kindlasti selgitada, kust selline reegel tuleb, teisendades selle 1% kaudu arvutamise tehtest. Näiteks 15% suuruse osa leidmisel pitsast, mille hind on 6 EUR, võime arvutada
6⁄100 * 15 = 6 * 15⁄100 = 15 * 6⁄100 = 15⁄100 * 6 = 0,15 * 6 = 0,90 (EUR) ehk 90 eurosenti
Kindlasti tuleks osa leidmise teemat alustada eluliste ülesannetega, leides konkreetse osa suuruse konkreetsest objektist (tervikust). Hiljem võib üle minna osa leidmisele arvust kui abstraktsemale. Siin on üheks arvutamist elavdavaks võtteks bingo, mis võimaldab mänguliselt treenida lihtsaid 16-st (4×4 ruudustik) või 25-st (5×5 ruudustik) tehtest koosnevaid ülesandeid.
Protsendi mõiste käsitlemine seitsmendas klassis
Siin korratakse protsendi mõistet, samuti lisanduvad ainekava järgi kolm järgmist tüüpülesannet: 1) terviku leidmine protsendi järgi, 2) jagatise väljendamine protsentides ja 3) kasvamise ja kahanemise väljendamine protsentides. Uue mõistena tuuakse sisse protsendipunkt; tutvustatakse promilli mõistet.
Terviku leidmist protsendi (ja osa) järgi võiks jällegi alustada pitsast. Seekord tuleks jagada õpilastele pitsasektorid, mille hind ja kaal on teada ja küsida terve pitsa hinda/kaalu. Analoogiliselt kuuenda klassi alguses kasutatud 1% kaudu arvutamisele tuleks ka siin taotleda ülesande lahenduse mõistmist. Näiteks kui 15% suurune osa pitsast maksab 0,90 EUR, siis terve pitsa hinna leidmiseks arvutame kõigepealt 1% suuruse osa hinna ja seejärel 100% suuruse osa (ehk terviku) hinna. Hiljem näitame teisenduse teel, et sama tulemuse saame, jagades osa osakaaluga:
0,90⁄15 * 100 = 0,90 * 100⁄15 = 0,90 * 100⁄15 = 0,90 : 100⁄15 = 0,90 : 0,15 = 6 (EUR)
Jagatise väljendamist protsentides on õpitud juba kuuendas klassis ja tavaliselt õpilastel pole probleemi suhte moodustamisega. Mõnikord ei osata murdarvu viia protsendi kujule (protseduurilised oskused). Arusaamatust tekitab ka see, kui suuruste suhtelise võrdlemise puhul esitatakse tavakeeles küsimusi analoogiliselt absoluutse võrdlusega. (Kui palju on kuusk kasest madalam?) Seetõttu on oluline, et nii ülesannetes kui õpetaja poolt esitatud küsimustes eristuks absoluutne võrdlus suhtelisest võrdlusest. (Mitu protsenti on kuuse kõrgus kase kõrgusest? Mitme protsendi võrra on kuusk kasest madalam?)
Sissejuhatuseks võib teha harjutusi värviliste korkidega (vt joonis 5). Hiljem on hea leida ülesannete jaoks teemasid, mis seitsmenda klassi õpilasi kõnetavad – poiste üheks lemmikteemaks on näiteks väravavahi poolt tõrjutud pealelöökide protsent; tüdrukutele meeldib teha statistikat lemmikartistide populaarsuse kohta klassis.
Kasvamise ja kahanemise ülesanded on tegelikult taandatavad osa leidmise ülesannetele – lihtsalt mõnikord osa lisatakse tervikule (juurdehindlus, kasvamine, inress), mõnikord aga tuleb see tervikust lahutada (allahindlus; riietusesemete pesus kokkutõmbumine).
Protsendipunkt on eesti keeles suhteliselt uus mõiste, mis on pärit ingliskeelsest ärimaailmast (percentage point). Õpilastele tulekski selgitada, et paljud mõisted (nagu näiteks ka ladinakeelne per centum) on meile tulnud ja tulevad edaspidigi teistest keeltest. Paralleelselt protsendipunktile on kõnekeeles kasutusel samatähenduslik protsendiühik, mis on keeleliselt tabavam. Kasutame ju nii pikkus-, kaalu-, pindala- kui ka ruumalaühikuid, mille puhul vastavad nimega arvud kas lisatakse üksteisele (liitmine) või võrreldakse neid omavahel (lahutamine). Sisuliselt küsime nii protsendiühiku kui ka protsendipunkti puhul: „Mitme protsendi võrra …?“ (samas kui suhtelise võrdlemise puhul küsitakse: „Mitu protsenti …?“).
Kui sõna protsendipunkt tundub võõras ega taha hästi meelde jääda, siis võib abiks võtta tuttava pitsapõhja ja vaadata, mitu punkti(vahet) kellegi tükk teise omast suurem on. Täpselt samamoodi võrreldakse omavahel poliitikute või parteide valimistulemusi. Visuaalselt sobivad teemat illustreerima kõikvõimalikud sektordiagrammid.
Protsentülesannete vormistamisest
Meil kasutatav traditsiooniline teisenduse esitusviis
3⁄5 = 0,6 osa on 0,6 * 100% = 60%
eristab olukorda, kus 3⁄5 ja 0,6 on nimeta arvud ja 60% nimega arv. Samas tundub selline kirjutusviis pikk ja kohmakas, võrreldes paljude teiste maade protsentõppes kasutatava ja Internetis lugematuid kordi nähtud esitusviisiga
3⁄5 = 0,6 = 60%.
Tõepoolest, nimeta arve ei tohi võrdsustada nimega arvudega (näiteks 5 ≠ 5 cm, sest arv 5 ei ole sama, mis pikkus 5 cm). Samas, osakaalu puhul oleme olukorras, kus kõik kolm esitusviisi väljendavad sisuliselt sama – osa suurust – erineval moel. Rõhutades, et tegemist on osakaaluga, peaks siinkohal erandina lubama teisendust:
osakaal 3⁄5 = 0,6 = 60%.
Loomulikult pole traditsiooniline esitusviis keelatud.
Võrdusmärki ei tohi aga kindlasti kasutada osakaalu ja sellele vastava suuruse vahel. Näiteks kui jalgratta hind on 350 EUR, siis 1%-le vastava hinna arvutamise puhul kirjutatakse kas sõnadega või kasutatakse noolt
1% vastab 3,50 EUR või 1% → 3,50 EUR.
Ülesande lahendamist on soovitatav alustada sellest, et määratakse kindlaks, millised suurused on antud ja mida küsitakse:
osa → …
osakaal → …
tervik → …
Niinimetatud kolmnurgareegli kasutamise puhul võiks andmete lähtepaigutus olla sama, mis reeglis (osa üleval keskel, osakaal all vasakul ja tervik all paremal; vt joonis 6). Igale (tekst)ülesandele peaks olema lisatud selgitav joonis (vt joonis 2).
Kokkuvõttes võiks öelda, et protsentõpe põhikoolis peaks liikuma mööda mõttelist liini: konkreetne (elulised näited) – visuaalne – abstraktne – konkreetne (elulise sisuga ülesanded). Sealjuures tuleks kindlasti arvestada sellega, millega kuuenda-seitmenda klassi lapsed tegelevad ja mis neile huvi pakub. Põhiline rõhuasetus olgu teemast arusaamisel. Üleliigseid mõisteid ja algebralisi valemeid tuleks vältida või lülitada need tugevamate õpilaste individuaalsesse õppekavasse. Muidugi leidub alati õpilasi, kellele kõikidest õpetaja jõupingutustest hoolimata suhteline mõtlemine raskusi valmistab – ja jääbki valmistama. Kindlasti leidub õpilasi, kellele õpetaja või kodused õpetavad võrde põhiomadusele rajanevat nn. „ristkorrutise meetodit“.
Pakuksin sellele meetodile alternatiivi, „kolm ühes“-reeglit, mis aitab meelde jätta korraga kolm põhireeglit: osa, terviku ja osakaalu leidmise (vt joonis 6). Otsitav tuleb lihtsalt kinni katta ja jooniselt on näha, mis tehe ülejäänud kahe suurusega tema leidmiseks tuleb teha: osa leidmiseks korrutada osakaal ja tervik, osakaalu leidmiseks jagada osa tervikuga ning terviku leidmiseks jagada osa osakaaluga.
Kirjandus
Hong, K. T., Mei, Y. S. & Lim, J. (2009). The Singapore Model Method for Learning Mathematics. Ministery of Education, Singapore. EPB Pan Pacific.
Lepmann, L. (2005). Protsentülesannete käsitlemisest TIMSSi tulemuste taustal. Koolimatemaatika XXXII. Tartu: Eesti Matemaatika Selts, 25 – 32.
Moss, J. (2005). Pipes, Tubes, and Beakers: New Approaches to Teaching the Rational-Number System. In M. S. Donovan & J. D. Bransford (Eds.) How Students Learn: History, Mathematics, and Science in the Classroom, pp. 309 – 350. National Academies Press, Washington, D. C.
Parker, M. & Leinhardt, G. (1995). Percent: A Privileged Proportion. Review of Educational Research 65(4), 421 – 481.
Reinup, R. (2009). „Protsentarvutus on keeruline, sest mulle ei jäänud see pähe“. Koolimatemaatika XXXIV. Tartu: TÜ Kirjastus, 104 – 108.
Zazkis, R. & Liljedahl, P. (2009). Teaching Mathematics as Storytelling. Sense Publishers, Rotterdam.
Telgmaa, A. (2010, 5. veebr.). Protsendid ja protsendipunktid. Õpetajate Leht, lk 10.
Textbook 6A (2006). Primary Mathematics. U.S. Edition. Marshall Cavendish Education, Singapore.