Arvutamine I – III kooliastmes

Mart Oja, Tartu Reiniku Kool, 2010

Arvutamisoskust läheb tarvis igal inimesel. Iga päev tekib meil vajadus arvutada aega, poes kulutatud ja kassas tagasi saadud raha hulka, toiduainete koguseid toidu valmistamisel, vahemaid ühest punktist teise liikumisel jne. Selle juures me ei mõtle, et oleme tegelikult pidevalt matemaatika või täpsemalt aritmeetika meelevallas. Mis on aritmeetika? Kuidas õpib inimene arvutama?

Aritmeetika kujunes välja juba kauges minevikus seoses esemete loendamise, pikkuste mõõtmise ja pindalade arvutamisega. Aritmeetika kui sõna on tulnud kreeka keelest ja tähendab “arvutamiskunsti”. Aritmeetika on osa elementaarmatemaatikast ja uurib ratsionaalarvude ja nendega sooritatavate tehete omadusi. Põhilisteks aritmeetika teheteks on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Aritmeetikaalaste uurimustega tuntuks saanud matemaatik K. F. Gauss on öelnud: “Matemaatika on teaduste kuninganna, aritmeetika – matemaatika kuninganna.”

Põhikooli aritmeetika hõlmab sellised õppekava teemad nagu arvutamine, mõõtmine, tekstülesanded ja protsent. Käesolevas artiklis käsitletakse õpilaste arvutamisoskuse kujundamist kooliastmete kaupa. Arvutamisoskuse kujundamine on tegelikult algoritmide õpetamine vastavate aritmeetiliste tehete sooritamiseks.

Esimeses kooliastmes on kõige olulisem, et õpilastel tekiks huvi matemaatika vastu ja et see huvi jääks püsima kogu matemaatika õppimise ajaks.

Kõigi pädevuste kujundamisel on oluline roll õpetajal, kes peab kogu õpetamisprotsessi korraldama nii, et õpilased saaksid matemaatika õppimises aktiivselt osaleda. Õpetaja peab arvestama, et esimeses ja teises kooliastmes ei ole lapsed veel võimelised abstraktselt mõtlema. Õpetaja põhiülesanne on esitada materjal nii, et õpilastel oleks võimalik seda tajuda jõukohasena. I – II kooliastme õpilased peavad kogemuse saama tegevuse, mängu või nägemise kaudu. Selleks peavad õpetajal olema vastavad õppevahendid (arvutuspulgad, mängurahad, tammetõrud, pähklid jm esemed loendamiseks), slaidiprogrammid, pildid, skeemid ja joonised teema näitlikustamiseks. Meil I kooliastmes kasutatavad õpikud, tööraamatud ja töövihikud on piltide-, jooniste- ja skeemiderohked ja see võimaldab õppimistegevust muuta mitmekesisemaks ja õpilastele huvitavamaks.

Järgnevas tabelis on arvutamise õpitulemused kooliastmete kaupa.

Eelnevast tabelist selgub, et enamuse arvutamisoskustest omandab õpilane I ja II kooliastmes. Aritmeetika kursuse esitus on sidus ja kontsentriline. Teema käsitlus laieneb klassist klassi millegi uuega, kuid samas toetub kogu teema juba varem õpitule.

Aritmeetika kursuse koolimatemaatikas võib jaotada tinglikult kolme ossa:

1) arvu struktuuri ehk ehituse käsitlus: arvu klassid, järgud, järguühikud ja järkarvud, arvude kirjutamine järkarvude või järguühikute kordsete summana ning arvude võrdlemine;

2) arvutamine naturaalarvudega, positiivsete kümnendmurdudega ja harilike murdudega, täisarvudega ning ratsionaalarvudega;

3) arvude ümardamine, arvu tüvenumbrid ja arvu standardkuju.

Arvu mõiste kujunemine.

Esimeses klassis käsitletakse kahekohalisi arve: õpitakse neid lugema, kirjutama, võrdlema ning esitama neid kümneliste ja üheliste summana.

Teises klassis käsitletakse kolmekohalisi arve: õpitakse neid lugema, kirjutama, võrdlema ning esitama neid sajaliste, kümneliste ja üheliste summana.

Kolmandas klassis õpitakse juba neljakohaliste arvude lugemist, kirjutamist ja võrdlemist.

Neljandas klassis jõutakse miljonini ja viiendas klassis miljardini. Kõigis klassides õpitakse arve lugema, kirjutama ja võrdlema, kuid igas järgmises klassis on ainult arvud järgu või klassi võrra suuremad.

Esimeses kooliastmes ei kasutata arvujärgu ja arvuklassi mõistet, vaid kasutatakse nimetusi ühelised, kümnelised, sajalised jne. Teises kooliastmes tuuakse sisse mõisted arvujärgud, järguühikud ja arvuklassid. Kümnendmurdudega tutvumisel lisatakse ka murdosa järgud kümnendikud, sajandikud jne. Viienda kassi lõpuks peab õpilasel selge olema arvu struktuur ning ta on suuteline arve lugema, kirjutama, võrdlema ja esitama neid järkarvude või järguühikute kordsete summana.

Arvutamine

Kahe esimese kooliastme jooksul õpitakse liitma, lahutama, korrutama ja jagama naturaalarve, positiivsed kümnendmurde, harilikke murde ja täisarve. Kolmandas kooliastmes aga kasutatakse juba varem õpitud kogemusi nelja põhitehte sooritamiseks ratsionaalarvudega, astendamisel ja arvu ruutjuure leidmisel. Arvutamisega alustatakse esimeses klassis naturaalarvude liitmise ja lahutamisega 0–10 piires. Siis aga laiendatakse arvude liitmist ja lahutamist 20 piires üleminekuga kümnest teise ning kasutatakse juba varem omandatud oskusi kümne piires arvutamisel. Saadud oskusi liitmisel ja lahutamisel 20 piires kasutatakse hiljem suuremate naturaalaarvude liitmisel ja lahutamisel. Teises klassis tuuakse sisse korrutamine kui võrdsete arvude liitmine. Kolmandas klassis käsitletakse jagamist kui korrutamise pöördtehet. Esimese kolme aastaga saadakse oskused nelja põhitehte sooritamiseks naturaalarvudega. Esimeses kooliastmes peab olema rõhk peast arvutamisel. Kirjaliku arvutamisega hakkavad õpilased tegelema tõsisemalt neljandas ja viiendas klassis, kui õpitakse arvutama kolme ja enama kohaliste naturaalarvudega. Viiendas klassis lisandub arvutamine kümnendmurdudega, kus õpilased saavad taas rakendada varemõpitud oskusi ja kogemusi naturaalarvudega arvutamisel. Kuuendas klassis õpitakse arvutamist harilike murdudega ja täisarvudega.

Ümardamine ja arvu standardkuju

Kui arvu ehitus on käsitletud, hakatakse viiendas klassis õpetama arvude ümardamist. Kõigepealt õpivad õpilased ümardama naturaalarve ja hiljem ka kümnendmurde. Arvude ümardamise oskust läheb vaja kuuendas klassis harilike murdude kümnendlähendi etteantud järguni ümardamisel. Seitsmendas klassis käsitletakse arvu standardkuju, mida kasutatakse väga suurte või väga väikeste ligikaudsete arvude kirjutamiseks. Seoses arvu standardkujuga tuuakse sisse ka arvu tüvenumbrite mõiste. Standardkujul arvudega arvutamist ja arvu tüvenumbrite mõiste tundmist läheb vaja füüsika- ja keemiaülesannete lahendamisel. Seitsmendas klassis tutvutakse ka ligikaudsete arvudega arvutamise eeskirjadega. Kahjuks on matemaatika õpikutes väga vähe selliseid ülesandeid, mille lahendamisel tuleb arvestada ligikaudsete arvudega arvutamise eeskirjadega.

Aritmeetika õppimisel ei tohi olla eesmärgiks ainult õigete vastuste leidmine, vaid eelkõige arutlused, mis selleni viivad. Iga õpilase mõttekõik on väärt seda, et õpilaselt küsida, kuidas ta arutles ja miks ta nii tegi. Esimeses kooliastmes arvutavad õpilased põhiliselt peast ja sageli on vaja lasta õpilastel selgitada oma vastuse saamise käiku. See võte annab võimaluse õpilastel end väljendada matemaatilises keeles. Sellise oskuse omandamine ei ole just lihtne. Õpilastele on tarvis sisendada, et matemaatikas tuleb oma mõtteid väljendada selgelt, lühidalt ja täpselt. Mida rohkem täpsust ja selgust nooremas vanuseastmes õpilastelt nõuda, seda lihtsam on neil vanemates klassides aru saada matemaatilisest tekstist. Õpilased omandavad uued mõisted ja nende mõistete tähendused paremini, kui nad ise saavad selgitada ja rääkida. Õpetaja ei tohi põhjendamist pidada lihtsalt ajaraiskamiseks.

Õpilastelt selgituste ja põhjenduste nõudmist saab alustada arvude liitmisel ja lahutamisel üleminekuga ühest kümnest teise. Nende tehete peastarvutamise õiged vastused saadakse üsna kiiresti. Kui õpilastelt nõuda selgitusi, siis tekivad raskused eneseväljendamise ja täpsusega. Viimast tuleb aga treenida. Oma vastuse või lahenduse põhjendamine ja selgitamine peab saama õpilase jaoks tavaliseks tegevuseks. Õpetaja ei saa nõustuda õpilase väitega, et ta ei tea, kuidas selle õige või ka vale vastuse sai.

Teises kooliastmes, kus õpitakse kirjalikku arvutamist, võiks õpilane anda tehtele 3153 – 1367 sellised selgitused:

1) arvud kirjutan üksteise alla nii, et samad järgud on kohakuti;

2) kuna kolmest ei saa lahutada seitset, siis võtan ühe kümnelise ja 13 – 7 on 6 ning kirjutan vastusesse kuue;

3) kuna võtsin ühe kümnelise ära, siis neljast ei saa lahutada kuut. Võtan ühe sajalise ja 14 – 6 on 8 ning kirjutan vastusesse kaheksa;

4) nüüd lahutan kolmest kolme ja vastusesse kirjutan nulli;

5) kolmest lahutan ühe ja vastusesse kirjutan kahe;

6) vastus on 2086.

Väga vajalikud on õpilaste selgitused harilike murdude liitmisel ja lahutamisel. Nende tehete sooritamiseks on õpilastel tarvis teada ühise nimetaja, laiendajate, laiendamise ja ka taandamise tähendust. Pikapeale harjuvad nad nende sõnade ja mõistetega. Selgitan õpilase tegevust ülesande lahendamisel järgmise näite abil. Õpilasel on tarvis liita kaks segaarvu 3³⁄₄ ja 2¹⁄₆

Õpetaja poolt oodatavad selgitused võiksid olla järgmised:

1) täisosade summa on 5;

2) ühine nimetaja on 12, sest 12 jagub nimetajatega 4 ja 6;

3) esimese murru laiendaja on 3 ja teise laiendaja 2;

4) pikale murrujoonele kirjutan 9 + 2;

5) vastus on 5¹¹⁄₁₂.

Segaarvude liitmisel ja lahutamisel on tarvis õpilastele rõhutada, et kõigepealt liidaksid või lahutaksid täisosad ja siis murdosad. Kuna murdude liitmist ja lahutamist õpetatakse enne korrutamist ja jagamist, siis sinnamaani toimib segaarvude liitmise ja lahutamise reegel suurepäraselt. See reegel ununeb aga kiiresti, kui hakatakse õppima segaarvude korrutamist ja jagamist. Segaarvude korrutamisel ja jagamisel teisendatakse need arvud liigmurdudeks ja siis teostatakse vastavad tehted. Seda seaduspärasust hakatakse kasutama millegipärast ka segarvude liitmisel ja lahutamisel. Nimetatud probleemiga segaarvude liitmisel ja lahutamisel tuleb võidelda. Õpetajad peavad olema nõudmistes järjekindlad ning jälgima, et õpilased arvutaksid otstarbekalt ja ratsionaaalselt.

Arvavaldiste väärtuste arvutamise oskused on vaja omandada ja kinnistada juba esimeses kooliastmes. On väga tähtis, et õpilased saaksid aru võrdusmärgi tähendusest – see seob kaks võrdset avaldist. Sellisel juhul on vanemates kooliastmetes õpilastel kergem lihtsustada algebralisi avaldisi, lahendada võrrandeid ja kontrollida võrrandite lahendeid. Esimeses kooliastmes on väga hea tulemus, kui õpilased oskavad lahenduskäigu kirjalikult võrdusena üles märkida. Liitmise ja lahutamise oskuste kontrollimiseks soovitakse tavaliselt õpilaselt ainult vastuseid. Kui vastused on õiged, siis oleks nagu kõik korras. Aga oleks vaja kontrollida, kuidas ta nende vastusteni jõudis. Selleks võiks ülesannete hulgas olla ka rohkem selliseid, milles nõutakse õpilastelt vahetulemuste kirjutamist võrdustena. Näiteks arvutamisel 20 piires üleminekul kümnest võiksid olla sellist tüüpi ülesanded: 8 + 7 = 10 + 5 = 15 või 15 – 9 = 10 – 4 = 6. Esimese saja piires arvutamisel võiksid olla järgmist tüüpi ülesanded: 87 – 39 = 57 – 9 = 50 – 2 = 48.

Esimese kooliastme vanemates klassides kasutatakse võrdusi tehete järjekorra ülesannete lahendamisel. Need ülesanded on enamasti peast arvutatavad. Esinevate tehete tulemuste kontrollimiseks pannakse kirja ka vahetehete tulemused. Näiteks 2 ⋅ 5 + 24 : 8 = 10 + 3 = 13.

Esimeses ja teises kooliastmes on levinud tehete järjekorraga ülesannete lahenduse väär vormistamine. Ei ole õige ega korrektne, et arvutamisel saadud vahetehete tulemused kirjutatakse avaldises tehtemärgi kohale. Vanemates klassides on ülesanded, mis sisaladavad astendajaid. Tekib ka küsimus, kuhu kirjutada astendamise tulemus? Uurisin ülesande sellise lahenduse vormistamise põhjusi. Selgus, et töövihikutes ei ole tehete järjekorra kohta käivatele ülesannetele jäetud lahendamisruumi – on ainult vastuse koht. Õpetajad tahavad teada õpilase vahetehete tulemusi ja leitigi võimalus märkida need tehtemärkide kohale. Arvan, et ei tohiks paralleelselt kasutada kaht erinevat vormistust. Tuleb nõuda korrektset lahendamist võrduste abil.

Võrdusmärgi õiget kasutamist arvavaldiste väärtuste arvutamisel on vajalik nõuda ka peastarvutamise ülesannete lahendamisel viiendas klassis, kus käsitletakse peastarvutamise võtteid. Mina ei piirdu sellega, et ootan õpilastelt ainult vastuseid. Olen märganud, et tegelikult õpilased ei viitsi peast arvutada ja kasutavad kirjalikku arvutamist vihiku tagakaanel või siis lisalehel. Et seda vältida, olen nõudnud õpilastelt lahenduskäigu või peastarvutusvõtte kirjapanekut võrdusena. Sellisel juhul on näha, millist võtet kasutades või kuidas on õpilane selle ülesande lahendanud. Näiteks:

21 ⋅ 103 = 21 ⋅ (100 + 3) = 2100 + 63 = 2163;

235 ⋅ 98 = 235 ⋅ (100 – 2) = 23 500 – 470 = 23 030;

23 ⋅ 54 + 77 ⋅ 54 = 54 ⋅ (23 + 77) = 54 ⋅ 100 = 5400.

Peastarvutamise ülesannete lahenduste kirjapanek tekitab ja kinnistab õpilases harjumuse otsida arvutamiseks lihtsamaid võtteid. Hiljem on peastarvutamine õpilasele loomulik ja tal ei teki vajadust alati haarata arvutuste tegemiseks taskuarvuti või paberilehe järele. Mina arvan, et peastarvutamine ei ole ainult vastuse kirjapanek, vaid oskus leida kiiresti ja ratsionaalselt ülesande vastus võrduste abil, ilma kirjaliku arvutamiseta või arvutit kasutamata.

Kuuendas klassis õpitakse tehteid positiivsete ratsionaalarvudega ja negatiivsete täisarvudega ning seitsmendas klassis laiendatakse tehete sooritamist negatiivste ratsionaalarvudega. Kui korrutamine ja jagamine ei valmista õpilastele erilisi raskusi, siis liitmine ja lahutamine ei ole igale õpilasele jõukohane. Õpilastele valmistab raskusi summa (vahe) märgi või abitehte liigi määramine, kuigi reeglid on selgeks õpitud.

Tehteid täisarvudega alustatakse kahe negatiivse arvu liitmisega. Võtame näiteks ülesande –12 + (–22). Selle summa märk on miinus ja abitehteks on liidetavate absoluutväärtuste summa leidmine. Kirjalikult näeks lahendus välja sellisena: –12 + (–22) = –(12 + 22) = –34. Kui on tegemist kahe erimärgilise arvu liitmisega, siis on lahenduse algoritm eelnevaga sarnane. Näiteks – 23 + 21 = –(23 – 21) = –2 või 32 – 56 = –(56 – 32) = –24. Teema käsitluse alguses olen kasutanud kirjalikku ülesannete lahendamist, sest sellisel juhul on õpilane tähelepanelikum ja süveneb rohkem ülesandesse kui lihtsalt peastarvutamisel. Kui ülesannete lahendamisel on õpilased saavutatud kogemused ja ka vilumised, siis olen lasknud ülesandeid lahendada peast. Toon veel mõned näited lahenduste vormistamise kohta.

–23,56 – 87,16 = –(23,56 + 87,16) = –110,72

Selle avaldise sulgudes oleva summa võib õpilane lahenda eraldi kirjalikult.

Kui on positiivsete ja negatiivsete murdarvude liitmine või lahutamine, siis saab ülesande lahendada ühe võrdusena. Näiteks

-3⁷⁄₈ + 1³⁄₄ = -(3⁷⁄₈ – 1³⁄₄) = -2^7-6⁄₈ = -2¹⁄₈ või

-2¹⁄₆ – 3⁴⁄₉ = -(2¹⁄₆ + 3⁴⁄₉) = -5³⁺²⁄₁₈ = -5⁵⁄₁₈.

Füüsikas ja keemias on oluline mõõtühikute teisendamise oskus. Olen märganud, et õpilastele valmistavad raskusi kiiruse ja tiheduse ühikute teisendamised. Õpilased on harjunud peast teisendama ühikuid, mis on ühte liiki. Pikkus-, massi-, pindala- ja ruumalaühikute vahelised seosed on pähe õpitud ning vastavate ülesannete lahendamist drillitud teises kooliastmes rohkesti. Kuid ühikute teisendamise käigu kirjapanek, (mida läheb just kiiruse või tiheduse ühikute teisendamisel vaja), valmistavad õpilastele raskusi. Teises kooliastmes tuleb ühikute teisendamisel harjutada üleminekute kirjapanemist ja mitte ainult peast vastuste kirjutamist. Näiteks

12 km = 12 ⋅ 1000 m = 12 000 m = 12 000 ⋅ 100 cm = 1 200 000 cm.

Sellest teisendusest loeb välja, et 1 km on tuhat korda pikem kui 1 meeter ja 1 meeter on 100 korda pikem kui 1 cm.

Kui käsitletakse massi- ja pikkusühikute vahelisi seoseid, siis ei tasuks piirduda ainult võrduste 1 km = 1000 m või 1 m = 100 cm või 1 kg = 1000 g pähe õppimisega. Nendele võrdustele tuleb anda ka sisu ja mõte. Võrdusest 1 km = 1000 m saab teada, et 1 kilomeeter on 1000 korda pikem kui 1 meeter või 1 meeter on 1000 korda lühem kui 1 kilomeeter. Arvan, et mõõtühikute vaheliste seoste lahtimõtestamine teeb ka õpilastele vastavate ülesannete lahendamise lihtsamaks. Kui õpilasel on tarvis 35 meetrit teisendada sentimeetriteks, siis ta leiab, et 1 meeter on 100 korda pikem kui 1 sentimeeter ja 35 m = 35 ⋅ 100 cm = 3500 cm. Kui on tarvis 35 m teisendada kilomeetriteks, siis arvestab õpilane, et 1 meeter on 1000 korda lühem ühest kilomeetrist ja 35 m = 35 : 1000 km = 0,035 km. Kui selliste lihtsamate teisenduste kirjapanemiseks on kogemused olemas, siis sobivad näiteks kiiruse teisendamised:

72^km⁄_h = ^72*1000m⁄_60min = ^72*1000m⁄_60*60s = ^72*1000m⁄_3600s = ^720m⁄_36s = 20^20m⁄_s