Aritmeetika tekstülesannete lahendamisoskuse arendamises

Anu Palu, Tartu Ülikool, 2010

Matemaatikas mõistetakse tekstülesande all ülesannet, mis on sõnastatud tavalise tekstina, ilma matemaatika sümboleid kasutamata. Aritmeetika tekstülesanne sisaldab küsimust, millele vastuse leidmiseks tuleb teostada aritmeetilisi tehteid (liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine). Iga aritmeetika tekstülesanne koosneb otsitavast arvust ja antud arvudest. Tekstülesande iseärasuseks on asjaolu, et ülesandes pole otseselt näidatud, missugused tehted on vajalik teostada. Ülesande tekstis esitatakse seosed antud arvude ja otsitava arvu vahel, mille alusel tuleb valida aritmeetilised tehted. Ülesande lahendamine tähendab seoste avastamist andmete ja otsitava vahel ning seoste alusel aritmeetilise tehete valimist ja arvutuste teostamist.

Vastavalt seni kehtinud õppekavale (Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava, 2002) pidid õpilased esimese kooliastme lõpuks oskama koostada ühetehtelisi tekstülesandeid ning olema võimelised analüüsima ja lahendama kuni kahetehtelisi tekstülesandeid. Teise kooliastme kohta puudusid konkreetsed õpitulemused: oli vaid kirjas, et õpilane peab oskama rakendada arvutusoskusi tekstülesannete lahendamisel. Uue põhikooli õppekava (2010) järgi peab esimese kooliastme lõpuks õpilane lugema, mõistma ja edastama eakohaseid matemaatilisi tekste; analüüsima ja lahendama iseseisvalt erinevat liiki ühe- ja kahetehtelisi tekstülesandeid ning hindama õpetaja abiga ülesande lahendamisel saadud tulemuse reaalsust. Teises kooliastmes lisandub tekstülesannete lahendamiseks vajalike üldiste teadmiste omandamine. Siia kuuluvad teadmised ülesannete koostisosadest ja struktuurist, ülesannete liikide tundmine, üldised käsitused ülesande lahendamise käigust ning etappidest. Üldised teadmised tekstülesannete lahendamisest on vajalikud selleks, et õpilased suudaksid lahendada ülesandeid teadlikult ja sihikindlalt, mitte ainult matkimise ja analoogia põhjal. Muidugi on sellised analoogiad vajalikud, kuid õpilane ei tohiks piirduda tundmatu ülesandega kohtumisel vaid analoogia otsimisega.

Õpilastel enamasti puuduvad süsteemikindlad teadmised ülesannete ja nende lahendamise kohta. Arvatakse, et ülesannete lahendamise üldoskused võivad tekkida tänu paljudele matemaatika- ülesannete lahendamistele. Õpilaste (ka õpetajate) peatähelepanu on sageli pööratud sellele, et leida ülesande lahendus ja seda võimalikult kiiresti. Lahenduse analüüsiks, kõige tähtsamaks, mille pärast ülesandeid lahendatakse, ei jätku enam jõudu ega aega. Õpilastel peaks olema vajalik teadmiste ja oskuste süsteem ülesande lahenduse otsimiseks. Ükskõik kui palju ülesandeid koolis ka ei lahendataks, puutuvad õpilased oma tulevases töös kokku ikkagi uute ülesannetega. Seepärast peavad õpilased koolist saama üldise käsituse igasuguste ülesannete lahendamiseks. Ülesannet tuleks vaadelda kui analüüsimis- ja uurimisobjekti, ülesande lahendamist aga kui avastamist. Selline käsitlus ei nõua tohutu hulga ülesannete lahendamist, vaid valitud ülesannete kiirustamata, tähelepanelikku ja asjalikku lahendamist.

Enamasti toetutakse tekstülesannete lahendamisel G. Polya (2001) neljaetapilisele mudelile: 1) saa aru ülesandest; 2) tööta välja plaan ülesande lahendamiseks, 3) vii lahendusplaan ellu, 4) vaata tagasi ja mõtle saadud vastuse üle. Piirid nelja etapi vahel ei tohiks olla väga kindlad, sest õpilased võivad liikuda tagurpidi ja edaspidi mööda neid samme, kuni nad on leidnud tee ülesande lahendamiseks.

Järgnevalt soovituslik tekstülesande lahendamise skeem, mis toetub Polya mudelile.

1. Ülesande sisuga tutvumine (ülesande hoolikas lugemine, esitatud situatsiooni ettekujutamine, vajadusel oma sõnadega ümberjutustamine).
2. Ülesande lahenduse otsimine (ülesande modelleerimine, arutlus, lahendusplaani koostamine).
3. Ülesande lahendamine.
4. Tulemuste hindamine.
5. Vastuse sõnastamine.

Kui õpilane on lahendanud ülesande valesti, siis tehtud viga ei pruugi olla matemaatiline. Ta võib olla eksinud erinevates ülesande lahendamise etappides. Uurimused on näidanud, et põhilised raskused tekstülesannete lahendamisel on seotud ülesandest arusaamisega. Enamus vigu on põhjustatud ülesande teksti mittemõistmisest ning vale lahendusstrateegia valimisest ja ainult väga väike osa strateegia valest rakendamisest. Õpetajad peavad olema teadlikud, et vale vastus võib tuleneda lugemisel ja arusaamisel tehtud veast.

Tekstülesande sisuga tutvumiseks on vaja anda piisavalt aega. Võimekamad õpilased oskavad kiiresti kõrvale jätta liigsed andmed, eraldada olulist ebaolulisest, näha arvudevahelisi seoseid. Vähem võimekad õpilased ei näe matemaatilisi seoseid, vaid konkreetseid asju, millega peab midagi tegema. Uurimused on näidanud, et sageli kombineerivad õpilased juhuslikke tehteid ülesandes antud arvudega (Palu & Kikas, 2010). Õpilased, kes ei taju tekstis olevaid matemaatilisi seoseid, võivad kasutada järgmisi strateegiaid: 1) ülesandes esinevate arvude liitmine; 2) tehte äraarvamine; 3) kõikvõimalike arvutuste tegemine ja neist enim reaalse valimine; 4) võtmesõnade otsimine; 5) tehte määramine lähtudes arvude suurusest. Õpilasi motiveerib selliselt lahendama asjaolu, et need tegutsemisviisid võivad mõnikord edu tuua: näiteks üks juhuslikult neljast aritmeetika tehtest valitud tehe võib osutuda õigeks. Nimetatud strateegiad võimaldavad sageli saada õige vastuse ühetehteliste tekstülesannete lahendamisel. Mitmetehteliste tekstülesannete korral on raskem valida õiget lahendusstrateegiat, mistõttu piirdutakse ülesande osalise lahendamisega.

Selleks, et ülesandes sisalduvaid matemaatilisi seoseid paremini mõista, tuleks kasutada ülesande kujundlikku esitlemist. Esimeses kooliastmes aitab õpilastel ülesande sisu paremini mõista tekstis esitatud info lühem ülesmärkimine (vt vasakpoolne joonis). Alates 4. klassist võib hakata õpetama ka ülesannete skemaatilist esitamist (vt parempoolne joonis).

Ülesanne. Pille kaardikogus on 67 postkaarti. Tal on 15 kaarti rohkem kui Mallel. Mitu postkaarti on Pillel ja Mallel kokku?

Skeemide koostamise oskus ei tule iseenesest. Selleks on vaja õpetajapoolset juhendamist, arvestades õpilaste individuaalsust. Sageli ei pruugi õpetaja enda poolt koostatud skeem toetada õpilast. Õpilasi tuleks julgustada koostama erinevaid mudeleid. Järgnevalt mõned näited ülesannete modelleerimisest. Kindlasti tuleks pöörata tähelepanu sellele, et ka lihtsaid tekstülesandeid saab lahendada erinevalt. Arutleda võib, millised lahendused on ratsionaalsemad.

Näide 1. Kahe arvu summa on 45 ja vahe 11. Leia need arvud.

Lahendus 1. Kui mõlemad arvud oleksid suurema arvuga võrdsed, siis oleks summa 45 + 11 = 56. Suurem arv on 56 : 2 = 28. Väiksem arv on 28 – 11 = 17 (või 45 – 28 =17). Vastus. Need arvud on 28 ja 17.

Lahendus 2. Kui mõlemad arvud oleksid väiksema arvuga võrdsed, siis oleks summa 45 – 11 = 34. Väiksem arv on 34 : 2 = 17. Suurem arv on 17 + 11 = 28 (või 45 – 17 =28). Vastus. Need arvud on 28 ja 17.

Näide 2. Kastis on õunu neli korda rohkem kui pirne. Õunu ja pirne on kokku 75. Mitu õuna on pirnidest rohkem?

Lahendus. Kokku on 4 + 1 = 5 võrdset osa. Üks osa on 75 : 5 = 15 õuna või pirni. Õunu on rohkem (4 – 1) · 15 = 45 tükki. Vastus. Õunu on pirnidest rohkem 45 võrra.

Näide 3. Klassis on 24 õpilast. Neid, kes teevad aktiivselt sporti, on 6 võrra rohkem kui mittesportijaid. Mitu õpilast teeb aktiivselt sporti? (Esitame kaks erinevat joonist.)

Lahendus 1. Mittesportijaid on (24 – 6 ) : 2 = 9. Sportijaid on 9 + 6 = 15 või 24 – 9 = 15. Vastus. 15 õpilast teevad aktiivselt sporti.

Lahendus 2. Sportijaid on (24 + 6 ) : 2 = 15. Vastus. 15 õpilast teevad aktiivselt sporti.

Näide 4. Kahes hoidlas oli kokku 94 ts porgandeid. Kui kummastki hoidlast veeti ära ühesugune kogus, siis ühte hoidlasse jäi 23 ts ja teise 37 ts porgandeid. Kummas hoidlas oli esialgu porgandeid rohkem ja mitme tsentneri võrra?

Värvitud on äravõetud osad. Jooniselt on näha, et ülesandes on ülearuseid andmeid (94 ts).

Lahendus. Teises hoidlas oli 37 – 23 = 14 ts rohkem. Vastus. Teises hoidlas oli porgandeid 14 ts võrra rohkem.

Näide 5. Lootuse tänava 50 lapsest tegeleb spordiga 64% ja muusikaga 42%, kusjuures 20% kõigist lastest tegeleb nii spordiga kui ka muusikaga. Ülejäänud laste huvialaks on joonistamine. Mitme lapse huvialaks on joonistamine?

Andmeid võib esitada Venni diagrammiga. Joonisele paneme paika kõigepealt ühisosa (20%). Seega on ainult spordiga tegelejaid 64 – 20 = 44 protsenti ja ainult muusikaga tegelejaid 42 – 20 = 22 protsenti.

Lahendus. Joonistajaid on 100% – (44% + 20% + 22%) = 14%. Leiame 14% 50st, see on 7. Vastus. Seitsme lapse huvialaks on joonistamine.

Kui skemaatiline joonis ei aita lahendusplaani koostada, on lisaks vajalik ülesande arutlus, mis võib toimuda kahel viisil: 1) küsimuselt arvuliste andmete juurde (analüüs) või 2) andmetest küsimuse juurde (süntees). Terviku nägemiseks on vajalik analüüs, mille korral arutletakse järgmiselt: 1) mida ülesandes küsitakse; 2) mida peab teadma, et sellele küsimusele vastata; 3) kas me teame seda; 4) kuidas puuduvat leida ja kas meil on selleks andmeid. Kui õpetaja kasutab arutlemiseks vaid sünteesi (andmetest küsimuse poole), ei näe vähem võimekad õpilased kogu ülesande struktuuri ja püüavad olemasolevate arvudega tehteid kombineerida või lahendada ülesande vaid osaliselt. Lähemalt on tutvustatud ülesande analüütilist ja sünteetilist arutluskäiku raamatu “Õppimine ja õpetamine esimeses ja teises kooliastmes” lk 250–252 (Palu, 2010).

Ülesande modelleerimine on vaid üks võimalus lahendusidee leidmiseks. Lisaks sellele on veel mitmeid erinevaid strateegiaid. Teadmised erinevatest strateegiatest tekivad ülesannete lahendamise kogemustest. Õpetaja roll on anda võimalusi selliste kogemuste tekkeks. Siinkohal veel mõned lahendusidee leidmise strateegiad, mis aitavad õpilast ülesande mõistmisel.

• Mõtle valjusti. Probleemi lahendamist toetab see, kui on haaratud korraga kaks protsessi: mõtlemine ja rääkimine.
• Koosta tabel. Süstematiseeritud andmetega koostatud tabeli kasutamine aitab õpilasel näha seoseid ja teatud süsteemi tekkimise kaudu leida puuduv info.

Näide 6. Kahest sadamast väljusid teineteisele vastu kaks aurikut. Teine aurik oli teel 7 tundi vähem kui esimene, kuid sõitis tunnis 3 km rohkem kui esimene aurik. Aurikud kohtusid 3 tundi pärast teise auriku väljumist, mis sõitis kiirusega 24 km/h. Kui suur oli sadamatevaheline kaugus?

Lahendus. Esimene aurik sõitis 3 + 7 = 10 tundi. Esimese auriku kiirus oli 24 – 3 = 21 km/h. Kokku sõitsid aurikud 10 · 21 + 3 · 24 = 282 km. Vastus. Sadamatevaheline kaugus oli 282 km.

• Mängi läbi. Ülesandes esitatud situatsioonide läbimängimine aitab õpilasetel probleemist paremini aru saada ja näha seoseid.

Näide 7. Kaupluses oli hommikul mõned kastid õunu. Pärastlõunal toodi juurde 4 kasti õunu. Õhtuks oli päeva jooksul müüdud 6 kasti õunu ja alles oli 10 kasti õunu. Mitu kasti õunu oli hommikul?

Ülesande lahendamiseks kasutame konkreetseid esemeid (nt nööpe, ube, tammetõrusid jne). Töö võiks toimuda rühmades, kus üks õpilane valitakse müüjaks, teine ostjaks ning kolmas kaubatoojaks. Vastavalt tekstile on müüjal õhtuks 10 nööpi ja ostjal 6 nööpi. Selleks, et teada saada, mitu nööpi oli müüjal hommikul, peab ostaja andma oma koguse tagasi: 10+6=16. Algseisu taastamiseks peab kolmas tegelane (kaubatooja) endale tagasi saama 4 nööpi. Kui müüja annab need kaubatoojale, jääb talle 16 – 4 =12 nööpi. Seega oli hommikul kaupluses 12 kasti õunu.

Näide 8. Ühe kilogrammi esimese sordi küpsiste ja kahe kilogrammi teise sordi küpsiste eest maksti 50 kr. Kolme kilogrammi esimese sordi ja nelja kilogrammi teise sordi küpsiste eest maksti 120 kr. Leidke kummagi sordi küpsiste kilogrammi hind.

Ülesande esitatud situatsiooni võib läbi mängida geomeetriliste kujunditega. Kujutagu ruut ühte kilogrammi esimest sorti küpsiseid ja ring ühte kilogrammi teist sorti küpsiseid. Moodustame hulgad vastavalt tekstile. Näeme, et teine hulk sisaldab kahte esimest hulka.

Lahendus. Esimese sordi küpsiste kilogrammi hind on 120 – 2 · 50 = 20 kr. Teise sordi küpsiste kilogrammi hind on (50 – 20) : 2 = 15 kr. Vastus. Üks kilogramm esimese sordi küpsiseid maksab 20 kr ja üks kilogramm teise sordi küpsiseid 15 kr.

• Kasuta lihtsamat näidet. Ülesande teevad keeruliseks suured arvud või keerulised situatsioonid. Muutes ülesande lihtsamaks või jaotades ta väiksemateks osadeks, võib ülesanne muutuda arusaadavamaks.
• Arva ära ja kontrolli. Seda strateegiat peetakse sageli väheväärtuslikuks. Kuid nagu teisedki strateegiad, võib ka see aidata kaasa lahendusidee leidmisel. Oletatava vastuse kontrollimisel peab õpilane toetuma võtmeinformatsiooni otsimisele, mis omakorda aitab paremini mõista probleemi.
• Leia teised alternatiivid. Julgustades õpilasi otsima alternatiive, genereerivad nad uusi viise probleemi nägemiseks ja lahendamiseks. Väga kasulik on edendada grupidiskussioone. Kui õpilased kuulevad, kuidas teised on probleemi lahendanud ja vastuse leidnud, võimaldab see neil näha alternatiivseid lahendusi samale ülesandele.
• Kontrolli vastust. See on kõige tähtsam strateegia. Hinnates vastust enne lahendusplaani elluviimist, on võimalik leida vead, mis võisid tekkida probleemist arusaamisel või lahendusidee leidmisel. Õpilasi tuleb julgustada hindama, kas saadud vastused on ikka usutavad ja mõistlikud. Õpilastele tuleb tutvustada enesekontrolli võimalusi, aitamaks leida vigu lahenduskäigus.

Aritmeetika tekstülesannete liigid

Uus õppekava rõhutab erinevat liiki ülesannete lahendamisoskuse kujundamist. Tekstülesandeid võib liigitada erinevalt. Lähtudes ülesande ülesehitusest, võib tekstülesandeid liigitada kolme rühma (Piht, Sikka, 2004): 1) konkreetse küsimusega lõppevad ülesanded; 2) avatud ülesanded (mida saad arvutada?); 3) skeemide, jooniste ja diagrammide põhjal lahendatavad ülesanded. Vastavalt tehete arvule, mida tuleb sooritada ülesande lahendamiseks, võib tekstülesandeid jaotada kahte rühma: lihtülesanded, mis lahenduvad ühe tehte abil, ja liitülesanded, millede lahendamiseks läheb vaja kahte või enamat tehet.

Ühetehteliste tekstülesannete lahendamisel tuleb sooritada üks neljast aritmeetilisest tehtest: liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine. Vastavalt ülesande sisule võib olla tegemist 6 võimalusega:

1. Ühendi leidmine (sooritada tuleb liitmistehe).
   Pakis on 19 ruudulist ja 8 joonelist vihikut. Mitu vihikut on kokku?.
2. Ühendi leidmine (sooritada tuleb korrutamistehe).
   Karbis on 16 pliiatsit. Mitu pliiatsit on neljas samasuguses karbis?
3. Osa leidmine (sooritada tuleb lahutamistehe).
   Aktusel oli kooli saalis 90 last. Neist 50 olid poisid. Mitu tüdrukut oli saalis?
4. Jaotamine või mahutamine (sooritada tuleb jagamistehe).
   Ühe foto albumisse kinnitamiseks on vaja 4 fotonurka. Jaanil kulus 28 fotonurka. Mitu fotot Jaan albumisse pani?
5. Võrdlemine (sooritada tuleb liitmis- või lahutamistehe). Näited leiab tabelist 1.
6. Võrdlemine (sooritada tuleb korrutamis- või jagamistehe). Näited leiab tabelist 2.

Õpikute analüüs on näidanud, et teatud liiki aritmeetika tekstülesandeid esineb õpikutes ja töövihikutes vähem või neid ei ole seal üldse (Palu, Liebert, 2007). Uurimus näitas, et 1.–3. klassi õppematerjalides esines rohkem ühendamis- ja eraldamisülesandeid, võrdlemisülesandeid aga tunduvalt vähem. Viimastest polnud esindatud kõik liigid. Ka mitmete välismaiste uuringute autorite arvates rõhutavad õpetajad liigselt mõningaid liiki tekstülesandeid ja jätavad teised hooletusse. Uurijad arvavad, et õpetajad pole teadlikud erinevatest tekstülesannete kategooriatest ning ei käsitle neid õpetamisel.

Tabel 1. Ülesanded seosega võrra rohkem/vähem.

Tabel 2. Ülesanded seosega korda rohkem/vähem

Võib oletada, et kui õpikutes teatud liiki ülesanded puuduvad, lahendatakse neid ka klassis vähem, mistõttu on nende ülesannete lahendamisoskus halvem. Uurimus teises kooliastmes näitas, et õpilased ei oska hästi lahendada ülesandeid, kus võrdlemisseosed olid küsimuses (Kana, Palu, 2006). Kõige halvemini aga lahendasid nii neljanda kui kuuenda klassi õpilased ülesannet, kus seos korda rohkem esines andmetes ja lahendamiseks tuli jagada.

Uurimused on näidanud, et tehte määramise oskus ühetehteliste tekstülesannete korral on suhteliselt stabiilne – nii neljanda kui ka kuuenda klassi õpilaste juures praktiliselt sama (Kana, Palu, 2006; Lepmann, 2000). Selline tulemus viitab asjaolule, et õpetajad pole pööranud suurt rõhku tekstülesannete lahendamisoskuse kujundamisele teises kooliastmes. Seni kehtinud matemaatika ainekavad ei näinud otseselt ette ülesannete lahendamise teoreetiliste aluste käsitlemist. Uues põhikooli õppekavas (2010) on esitatud konkreetsed õpitulemused tekst- ülesannete lahendamisoskuse kohta. Õppeprotsessi kirjeldusest võib näha, et tekstülesannete lahendamise õpetus on I ja II kooliastme igas klassis.

Matemaatikapädevus hõlmab üldist probleemi lahendamise oskust, mis sisaldab oskust sobivaid lahendusstrateegiaid leida ja neid rakendada, lahendusideed analüüsida ning tulemuse tõesust kontrollida. Metoodiliselt õigesti korraldatud tekstülesannete lahendamine aitab kujundada üldist probleemi lahendamise oskust esimeses ja teises kooliastmes. Eelnevas on püütud anda näpunäiteid selle oskuse kujundamiseks. Lisaks leiab nõuandeid matemaatika õpetamiseks probleemide kaudu raamatust „Õppimine ja õpetamine esimese ja teises kooliastmes“ lk 252– 257 (Palu, 2010).

Kasutatud kirjandus

Palu, A. (2008). Matemaatika. Õppimine ja õpetamine esimese ja teises kooliastmes. Kikas, E. (Toim). Tartu: Tartu Ülikooli kirjastus, 243–261.

Saadaval aadressil http://eduko.archimedes.ee/files/EDUKOraamatkaanega.pdf

Viidatud kirjandus

Kana, A., Palu, A. (2006). Aritmeetika tekstülesannete lahendamisoskusest. Avatud kool ja tõhus õppimine. Tartu: Tartu Ülikooli kirjastus.

Lepmann, T. (2000). Elementaarsete tekstülesannete lahendamisest 4. ja 6. klassis. Koolimatemaatika XXXII. Tartu: Tartu Ülikooli kirjastus.

Palu, A., Kikas, E. (2010). The types of the most widespread errors in solving arithmetic word problems and their persistence in time. In A. Toomela (Ed.), Systemic Person-Oriented Study of Child Development in Early Primary School (pp.155–172). Frankfurt am Main: Peter Lang Verlag.

Palu, A., Liebert, T. (2007). Aritmeetika tekstülesannete liigid esimese kooliastme matemaatika õpikutes ja töövihikutes. Koolimatemaatika XXXIV. Tartu: Tartu Ülikooli kirjastus.

Piht, S., Sikka, H. (2004). Matemaatika. E. Kuldernknup (Koost), Õppe- ja kasvatustööst I kooliastmes. Tallinn: Argo.

Polya, G. (2001). Kuidas seda lahendada. Tallinn: Valgus.

Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava (2002). Riigi teataja I osa 20, 22.02.2002. Tallinn: Riigi Teataja kirjastus.